同济大学物理科学与工程学院王策/任捷教授AI for Science团队在机器学习分类非厄米系统物态编织和纽结拓扑方向取得重要进展。在不需要任何先验的数学物理知识的情况下，该团队利用人工智能解决了非厄米物理和拓扑数学交叉领域的一个重要问题，利用n倍扩展倒易空间里基于su(n)李代数表示的无监督流形学习，识别和分类了宇称-时间对称或对称破缺下的非厄米物态编织和纽结拓扑，展示了其在非厄米拓扑物理，纽结、编织群方面的巨大潜力。研究成果以“Machine learning of knot topology in non-Hermitian band braid”为题，发表在国际知名期刊Nature旗下《通讯-物理》（Communications Physics）。

纽结理论在自然科学中具有特殊意义，为理解各种物理系统的拓扑性质和相互作用提供了一种至关重要的数学语言。例如，从杨-巴克斯特方程解中导出的纽结不变量用于表征量子态的纠缠和拓扑性质。此外，纽结理论有助于探索拓扑问题，如拓扑绝缘体和拓扑超导体，它们表现出奇特的物相和受保护的性质。最近人们发现在倒易准动量空间中，非厄米能带结构的不同拓扑相可以用辫子编织群进行分类。而辫子编织群与纽结密切相关。将辫子编织的两端相连而形成的闭合结构就能够代表纽结。

然而，如何分类和识别非厄米能带编织形成的辫子群和纽结拓扑态，仍然是个巨大的挑战。一方面，在数学领域，科学家们曾提出多种用于识别纽结种类的拓扑不变量，比如亚历山大多项式和琼斯多项式等等。这些基于代数方法的纽结不变量在计算上非常复杂。即便如此，仅依赖某个拓扑不变量难以保证实现纽结种类的完全分类。另一方面，在非厄米能带物理领域，最近掀起了一波研究小高潮，其周期性的能带结构使得闭合辫子编织会产生丰富的纽结拓扑。非厄米哈密顿量的复特征值和特征向量会产生复杂的现象，如奇异点、宇称-时间对称性破缺、非厄米趋肤效应、非阿贝尔编织等等。因此，非厄米系统中的拓扑相变可能更加复杂。如图1所示，能带结构可能受到额外对称性的限制，导致具有相同纽结拓扑的不同相。此外，不同的手性也会导致不同的能带辫子。另外，物理系统里，编织的不仅仅是能带（即特征值），还包括特征矢量（描述了物质状态）。因此，对非厄米物态编织和纽结拓扑的全面分类超出了纯粹特征值数学问题的范畴。

图 1 一些例子，展示n=2非厄米带中具有不同手性和拓扑相的辫子编织及对应的纽结

随着人工智能的快速发展，监督神经网络被应用于这些纽结拓扑识别。然而，监督学习的方法需要人们准备好已知纽结种类的大量先验样本，将需要消耗大量的计算资源，并且难以外延拓展去探索更复杂的纽结。人们迫切需要开发一种高效统一的无需监督的机器学习方案来识别和分类非厄米物理系统物态编织的丰富纽结拓扑相。

在最新发表的《通讯-物理》“Machine learning of knot topology in non-Hermitian band braid”这项工作中，科学家们采用了一种基于su(n)李代数的布洛赫矢量的扩散距离度量，即广义Gell-Mann矩阵，来描述具有n条能带的非厄米系统。这种度量可以结合哈密顿量复特征值和本征态的信息，对非厄米系中的物态辫子编织和纽结拓扑进行全面分类。值得注意的是，拓扑非平凡相中的非厄米能带编织会导致自发对称破缺的发生。因此，科学家们采用了n倍扩展的非厄米布里渊区内的描述符，以确保每个模式始终保持2n的周期性。基于该描述符定义的扩散距离和扩散映射方法有效地区分了物态辫子和纽结的不同类型和手性。扩散映射是一种基于流形学习的非线性降维方法，能够揭示数据集的内在微分流形结构。扩散映射的有效性依赖于样本流形空间中的扩散过程与拓扑中的同伦之间的自然联系。具体的，该工作以两个模型为例（见图2），一个n=2，另一个n=3，实现了n条能带的非厄米系统中纽结拓扑的精确分类，证明了上述描述符和机器学习方法的有效性。

图2 (a)-(c) 无监督学习对于n=2非厄米系统的分类结果；(d)-(g) 无监督学习对于n=3非厄米系统的分类结果   

同济大学物理科学与工程学院博士生陈江芷和王子为论文共同第一作者。博士生谭宇涛也作出重要贡献。王策助理教授与任捷教授为论文共同通讯作者。该项研究得到了国家自然科学基金、上海市原创探索项目、上海市优秀学术带头人、科技部重点研发和上海市特殊人工微结构材料与技术重点实验室的资助。

论文链接：https://www.nature.com/articles/s42005-024-01710-w